Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+alnx，其中a為實常數(shù)．
（1）求f（x）的極值；
（2）若對任意x₁，x₂∈[1，3]，且x₁＜x₂，恒有

1

x1

-

1

x2

＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），求導f′(x)=

ax-1

x2

，由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調性及極值；
（2）|f(x1)-f(x2)|＜

1

x1

-

1

x2

，?x1，x2∈[1，3]，x1＜x2恒成立可化為

f(x1)-f(x2)＜ 1 x1 - 1 x2 f(x1)-f(x2)＞ 1 x2 - 1 x1

對?x₁，x₂∈[1，3]，x₁＜x₂恒成立，從而可得g(x)=f(x)-

1

x

=alnx在[1，3]遞增，h(x)=f(x)+

1

x

=

1

x

alnx+

2

x

在[1，3]遞減；從而化為導數(shù)的正負問題．

解答： 解：（1）由已知f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

ax-1

x2

，
當a＞0時，f（x）在(0，

1

a

)上單調遞減，在(

1

a

，+∞)上單調遞增；
當x=

1

a

時，f（x）有極小值a-alna，無極大值；
當a≤0時，f（x）在（0，+∞）遞減，f（x）無極值；
（2）∵|f(x1)-f(x2)|＜

1

x1

-

1

x2

，?x1，x2∈[1，3]，x1＜x2恒成立，
∴

f(x1)-f(x2)＜ 1 x1 - 1 x2 f(x1)-f(x2)＞ 1 x2 - 1 x1

對?x₁，x₂∈[1，3]，x₁＜x₂恒成立；
即

f(x1)- 1 x1 ＜f(x2)- 1 x2 f(x1)+ 1 x1 ＞f(x2)+ 1 x2

對?x₁，x₂∈[1，3]，x₁＜x₂恒成立；
∴g(x)=f(x)-

1

x

=alnx在[1，3]遞增，h(x)=f(x)+

1

x

=

1

x

alnx+

2

x

在[1，3]遞減；
從而有

a＞0 h′(x)= a x - 2 x2 = ax-2 x2 ≤0

對x∈[1，3]恒成立；
∴0＜a≤

2

3

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題的轉化與應用，屬于難題．