【題目】設函數 ,其中0<a<1,
(1)證明:f(x)是(a,+∞)上的減函數;
(2)解不等式f(x)>1.
【答案】
(1)證明:由1﹣ >0,得x>a,所以函數f(x)的定義域為(a,+∞).
設a<x1<x2,
則f(x1)﹣f(x2)= ﹣ ,
因為 = <0,所以1﹣ <1﹣ ,
又0<a<1,所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)是(a,+∞)上的減函數
(2)f(x)>1,即 >1,也即即 >logaa,
又0<a<1,所以0<1﹣ <a,解得a<x< .
所以不等式的解集為:(a, )
【解析】(1)利用減函數的定義即可證明;(2)化成同底的對數式,利用對數函數的單調性可得真數的大小關系,解出即可.
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法和對數函數的單調性與特殊點,掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;過定點(1,0),即x=1時,y=0;a>1時在(0,+∞)上是增函數;0>a>1時在(0,+∞)上是減函數即可以解答此題.
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【題目】甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽,其中兩人比賽另一個人當裁判,設每周比賽結束時,負的一方在下一局當裁判,假設每局比賽中甲勝乙的概率為,甲勝丙,乙勝丙的概率都是,各局的比賽相互獨立,第一局甲當裁判.
(1)求第三局甲當裁判的概率;
(2)記前四次中乙當裁判的次數為,求的分布列和數學期望.
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【題目】設f(x)= 為奇函數,a為常數.
(1)求a的值;并判斷f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調性;
(2)若對于區(qū)間(3,4)上的每一個x的值,不等式f(x)> 恒成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】如圖,三棱柱中, , , 分別為棱的中點.
(1)在平面內過點作平面交于點,并寫出作圖步驟,但不要求證明.
(2)若側面側面,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】如圖,直三棱柱中, , , ,外接球的球心為,點是側棱上的一個動點.有下列判斷:
① 直線與直線是異面直線;② 一定不垂直;
③ 三棱錐的體積為定值; ④的最小值為.
其中正確的個數是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點、公交站點、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務區(qū)等提供自行車單車共享服務,是共享經濟的一種新形態(tài).一個共享單車企業(yè)在某個城市就“一天中一輛單車的平均成本(單位:元)與租用單車的數量(單位:千輛)之間的關系”進行調查研究,在調查過程中進行了統(tǒng)計,得出相關數據見下表:
租用單車數量(千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每天一輛車平均成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根據以上數據,研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個回歸方程,方程甲: ,方程乙: .
(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務:
①完成下表(計算結果精確到0.1)(備注: ,稱為相應于點的殘差(也叫隨機誤差));
租用單車數量 (千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天一輛車平均成本 (元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估計值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
殘差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估計值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
殘差 | 0.1 | 0 | 0 |
②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及,并通過比較的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.
(2)這個公司在該城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎,共享單車常常供不應求,于是該公司研究是否增加投放.根據市場調查,這個城市投放8千輛時,該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.6,0.4;投放1萬輛時,該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.4,0.6.問該公司應該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤?(按(1)中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本,利潤=收入-成本).
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【題目】已知函數f (x)= 的定義域為A,m>0,函數g(x)=4 x﹣1(0<x≤m)的值域為B.
(1)當m=1時,求 (R A)∩B;
(2)是否存在實數m,使得A=B?若存在,求出m的值; 若不存在,請說明理由.
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