Question

5．已知f（x）=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}（x∈{R}）$．
（1）證明f（x）是奇函數(shù)；　　　
（2）證明f（x）是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義，即可證明f（x）是定義域R上的奇函數(shù)；　　　
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明f（x）是定義域R上的增函數(shù)．

解答 解：（1）證明：任取x∈R，都有：
$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{\frac{1}{2^x}-1}}{{\frac{1}{2^x}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$=-f（x），
∴f（x）是定義域R上的奇函數(shù)；
（2）證明：令x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，
則f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用定義證明函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．