Question

已知常數a、b、c都是實數，f（x）=ax³+bx²+cx-34的導函數為f′（x），f′（x）≤0的解集為{x|-2≤x≤3}，若f（x）的極小值等于-115，則a的值是（　　）

• A、-  

  81

  22

• B、

  1

  3

• C、2
• D、5

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,導數的運算

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：把條件“不等式f'（x）≤0的解集為{x|-2≤x≤3}”轉化為3ax²+2bx+c≤0的解集為{x|-2≤x≤3}；從而可得

a＞0，         -2+3=- 2b 3a -2×3= c 3a

，從而求解．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx-34，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c．
∵不等式f'（x）≤0的解集為{x|-2≤x≤3}，
∴不等式3ax²+2bx+c≤0的解集為{x|-2≤x≤3}．
∴

a＞0，         -2+3=- 2b 3a -2×3= c 3a

，
即

a＞0，    b=- 3a 2 c=-18a

，
∴f(x)=a x3-

3a

2

x2-18ax-34．
根據已知得當x=-2時，f（x）取得極大值，當時x=3時，f（x）取得極小值．
∴f( 3 )=27a-

27a

2

-54a-34=-115，
解得a=2．
故選C．

點評：本題考查函數與導數．考查函數極值、方程的思想方法，較好地體現了高考類似設題思想，體現知識與方法的交匯．