Question

某光學儀器廠有一條價值為a萬元的激光器生產線，計劃通過技術改造來提高該生產線的生產能力，提高產品的增加值．經過市場調查，產品的增加值y萬元與技術改造投入x萬元之間滿足：
①y與（a-2x）•x²成正比；
②當時，，并且技術改造投入滿足，其中t為常數(shù)且t∈（1，2]．
（I）求y=f（x）表達式及定義域；
（Ⅱ）求技術改造之后，產品增加值的最大值及相應x的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設y=k（a-2x）x²．由時，可得k=4．所以y=4（a-2x）x²，由此能求出函數(shù)f（x）的定義域．
（II）由y=-8x³+4ax²，知．令y'=0得．因為t∈（1，2]，所以．由此能求出技術改造之后，產品增加值的最大值及相應x的值．
解答：解：（I）設y=k（a-2x）x²．
由時，可得k=4．
所以y=4（a-2x）x²．…（3分）
由，
解得．
所以函數(shù)f（x）的定義域為．…（6分）
（II）由（I）知y=-8x³+4ax²，
所以．
令y'=0得．…（8分）
因為t∈（1，2]，
所以，即．
當時，y'＞0，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)；
當時，y'＜0，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)．…（11分）
所以當時，函數(shù)y=f（x）取得最大值，且最大值是．…..（13分）
所以，1＜t≤2時，投入萬元最大增加值萬元．…（14分）
點評：本題考查y=f（x）表達式及定義域，求技術改造之后，產品增加值的最大值及相應x的值．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意導數(shù)的性質的靈活運用．