Question

已知偶函數f（x）在R上可導，且f′（1）=-2，f（x+2）=f（x-2），則曲線y=f（x）在x=-5處的切線的斜率為（　　）

A．2

B．-2

C．1

D．-1

Answer 1

分析：由f（x）可導，對f（x+2）=f（x-2）兩邊求導，結合f（x）為偶函數，得到一個式子，對此式兩邊求導，從而可得f′（x+4）=f′（x），由此可求即f′（-5）的值即為所求切線的斜率．

解答：解：由f（x）在R上可導，對f（x+2）=f（x-2）兩邊求導得：
f′（x+2）（x+2）′=f′（x-2）（x-2）′，即f′（x+2）=f′（x-2）①，
由f（x）為偶函數，得到f（-x）=f（x），
故f′（-x）（-x）′=f′（x），即f′（-x）=-f′（x）②，
則f′（x+2+2）=f′（x+2-2），即f′（x+4）=f′（x），
所以f′（-5）=f′（-1）=-f′（1）=2，即所求切線的斜率為2．
故選A

點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，解題的關鍵是得出f′（x+4）=f′（x），是一道中檔題．