已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)的離心率為,半焦距為c(c>0),且a-c=1.經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F,斜率為k1(k1≠0)的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)當(dāng)k1=1時(shí),求S△AOB的值;
(Ⅲ)設(shè)R(1,0),延長(zhǎng)AR,BR分別與橢圓交于C,D兩點(diǎn),直線CD的斜率為k2,求證:為定值.
【答案】分析:(Ⅰ)由題意,得,解得,由此能求出橢圓Γ的方程.
(Ⅱ)由(Ⅰ),知F(-2,0),故直線AB的方程為y=x+2,由,得14x2+36x-9=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=-,由此能求出S△AOB
(Ⅲ)設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),由直線AR的方程為y=(x-1),由,得y2+y-4=0.由此能為定值.
解答:解:(Ⅰ)由題意,得解得
∴b2=a2-c2=5,
故橢圓Γ的方程為+=1.…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),知F(-2,0),∴直線AB的方程為y=x+2,
消去y并整理,得14x2+36x-9=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=-,
∴|AB|=|x1-x2|==
設(shè)O點(diǎn)到直線AB的距離為d,則d==
∴S△AOB=|AB|•d=××=.…(8分)
(Ⅲ)設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),
由已知,直線AR的方程為y=(x-1),即x=y+1.
消去x并整理,得y2+y-4=0.
則y1y3=-,∵y1≠0,∴y3=
∴x3=y3+1=+1=
∴C(,).同理D(,).
∴k2==
=
∵y1=k1(x1+2),y2=k1(x2+2),
∴k2===
=為定值.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上,且BF⊥x軸,直線AB交y軸于點(diǎn)P.若
AP
=2
PB
,則橢圓的離心率是( 。
A、
3
2
B、
2
2
C、
1
3
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若以F2為圓心,b-c為半徑作圓F2,過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線,切點(diǎn)為T,且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c)

(1)求橢圓的離心率e的取值范圍;
(2)設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為1,圓F2與x軸的右交點(diǎn)為Q,過點(diǎn)Q作斜率為k(k>0)的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),若OA⊥OB,求直線l被圓F2截得的弦長(zhǎng)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
4
+
y2
b
=1(0<b<4)的右焦點(diǎn)為F,左右頂點(diǎn)分別為C、A,上頂點(diǎn)為B,過B,C,F(xiàn)作圓P.
(Ⅰ)當(dāng)b=1時(shí),求圓P的方程;
(Ⅱ)求證:直線AB與圓P不可能相切.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
8
+
y2
4
=1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是1,則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2+y2-6x+8=0的圓心,且短軸長(zhǎng)為8,則橢圓的左頂點(diǎn)為( 。

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