Question

9．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{λ+1}+\frac{y^2}{λ}=1\;（0＜λ＜1）$在左、右焦點(diǎn)，直線AB經(jīng)過F₂交橢圓于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在x軸上方），連結(jié)AF₁、BF₁．
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和△ABF₁周長(zhǎng)；
（2）求△ABF₁面積的最大值（用λ表示）．

Answer 1

分析 （1）利用c=$\sqrt{λ+1-λ}$，可得焦點(diǎn)．由橢圓的定義可得：|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，即可得出．
（2）設(shè)直線AB的方程為：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（λm²+λ+1）y²+2λmy-λ²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得△ABF₁面積S=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|，化簡(jiǎn)利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{x^2}{λ+1}+\frac{y^2}{λ}=1\;（0＜λ＜1）$，可得c=$\sqrt{λ+1-λ}$=1，可得焦點(diǎn)（±1，0）．
由橢圓的定義可得：|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=2$\sqrt{λ+1}$．
∴△ABF₁周長(zhǎng)=4$\sqrt{λ+1}$．
（2）設(shè)直線AB的方程為：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{λ+1}+\frac{{y}^{2}}{λ}=1}\end{array}\right.$，化為：（λm²+λ+1）y²+2λmy-λ²=0，
△＞0，y₁+y₂=$\frac{-2λm}{λ{(lán)m}^{2}+λ+1}$，y₁y₂=$\frac{-{λ}^{2}}{λ{(lán)m}^{2}+λ+1}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2λ\sqrt{λ{(lán)m}^{2}+λ+{m}^{2}+1}}{λ{(lán)m}^{2}+λ+1}$．
∴△ABF₁面積S=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|=$\frac{2λ\sqrt{λ{(lán)m}^{2}+λ+{m}^{2}+1}}{λ{(lán)m}^{2}+λ+1}$=$\frac{2λ\sqrt{λ+1}}{\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}+λ\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\frac{2λ\sqrt{λ+1}}{2\sqrt{λ}}$=$\sqrt{{λ}^{2}+λ}$．當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)．
∴△ABF₁面積的最大值為$\sqrt{{λ}^{2}+λ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．