Question

12．函數(shù)f（x）=lg（ax³-x²+5a）在（1，2）上遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{4}{13}$，$\frac{1}{3}$]
• B． （$\frac{4}{13}$，$\frac{1}{3}$]
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 令y=ax³-x²+5a，由條件利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在（1，2）上，y＞0且y單調(diào)遞減，故y′=3ax²-2x＜0，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍．

解答 解：令y=ax³-x²+5a，則f（x）=lgy，∴在（1，2）上，y＞0且y單調(diào)遞減，
故y′=3ax²-2x=x（3ax-2）＜0，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3a}＞0}\\{8a-4+5a≥0}\\{2≤\frac{2}{3a}}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3a}＜0}\\{8a-4+5a＞0}\end{array}\right.$ ②．
解①可得$\frac{4}{13}$≤a≤$\frac{1}{3}$，解②求得a無解．
綜上可得，$\frac{4}{13}$≤a≤$\frac{1}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，填了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．