Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-3x
（Ⅰ）若f′（2）=

3

2

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的2個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，若f（x₁）+f（x₂）=-

9

4a

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，代入求出a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于0，利用韋達(dá)定理，得到x₁+x₂=

3

2a

，x₁•x₂=

1

2a

，由f（x₁）+f（x₂）=-

9

4a

，整理化簡(jiǎn)的ln（2a）=1，求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+ax²-3x，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
∴f′（x）=

1

x

+2ax-3，f′（2）=

3

2

，
∴

3

2

=

1

2

+4a-3
解得a=1，
∴f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
令f′（x）=0，解得x=

1

2

，或x=1，
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜

1

2

，或x＞1，
當(dāng)f′（x）＜0，即

1

2

＜x＜1，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

2

）∪（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（

1

2

，1）．
（Ⅱ）∵f′（x）=

1

x

+2ax-3，函數(shù)f（x）的2個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，
令f′（x）=0，即

1

x

+2ax-3=0，
∴x₁，x₂是方程的2ax²-3x+1=0兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=

3

2a

，x₁•x₂=

1

2a

，
∵f（x₁）+f（x₂）=-

9

4a

，
∴l(xiāng)nx₁+ax₁²-3x₁+lnx₂+ax₂²-3x₂=lnx₁•x₂+a[（x₁+x₂）²-2x₁•x₂]-3（x₁+x₂）=ln

1

2a

+a（

9

4a2

-

1

a

）-

9

2a

=-

9

4a

，
即ln（2a）=1，解得a=

e

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值點(diǎn)，韋達(dá)定理的有關(guān)問題，屬于中檔題