已知焦點在y軸,頂點在原點的拋物線C1經(jīng)過點P(2,2),以C1上一點C2為圓心的圓過定點A(0,1),記為圓與軸的兩個交點.
(1)求拋物線的方程;
(2)當圓心在拋物線上運動時,試判斷是否為一定值?請證明你的結(jié)論;
(3)當圓心在拋物線上運動時,記,,求的最大值.
(1)x2="2y" ;(2)定值2;(3)
解析試題分析:(1)由焦點在y軸,頂點在原點的拋物線假設為,又C1經(jīng)過點P(2,2),即可求出拋物線的.即可得拋物線的方程.
(2)當圓心在拋物線上運動時,寫出圓的方程,再令y=0即可求得圓的方程與x軸的兩交點的坐標,計算兩坐標的差即可得到結(jié)論.
(3)當圓心在拋物線上運動時,由(1)可得M,N的坐標(其中用圓心的坐標表示).根據(jù)兩點的距離公式即可用圓心的坐標表示m,n的值,將適當變形,再根據(jù)基本不等式即可求得的最大值.
(1)由已知,設拋物線方程為x2=2py,22=2p×2,解得p=1.
所求拋物線C1的方程為x2=2y.-------3分
(2)法1:設圓心C2(a,a2/2),則圓C2的半徑r=
圓C2的方程為.
令y=0,得x2-2ax+a2-1=0,得x1=a-1,x2=a+1.
|MN|=|x1-x2|=2(定值).------7分
法2:設圓心C2(a,b),因為圓過A(0,1),所以半徑r=,
,因為C2在拋物線上,a2=2b,且圓被x軸截得的弦長
|MN|=(定值)---7分
(3)由(2)知,不妨設M(a-1,0),N(a+1,0),
考點:1.拋物線的性質(zhì).2.最值問題.3.基本不等式的應用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知小矩形花壇ABCD中,AB=3 m,AD=2 m,現(xiàn)要將小矩形花壇建成大矩形花壇AMPN,使點B在AM上,點D在AN上,且對角線MN過點C.
(1)要使矩形AMPN的面積大于32 m2,AN的長應在什么范圍內(nèi)?
(2)M,N是否存在這樣的位置,使矩形AMPN的面積最小?若存在,求出這個最小面積及相應的AM,AN的長度;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
為了降低能源損耗,某體育館的外墻需要建造隔熱層.體育館要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:cm)滿足關系:(,為常數(shù)),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求的值及的表達式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用達到最?并求最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
老峰鎮(zhèn)計劃建造一個室內(nèi)面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi),沿左.右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1寬的通道,沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時?蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少?
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