已知焦點在y軸,頂點在原點的拋物線C1經(jīng)過點P(2,2),以C1上一點C2為圓心的圓過定點A(0,1),記為圓軸的兩個交點.
(1)求拋物線的方程;
(2)當圓心在拋物線上運動時,試判斷是否為一定值?請證明你的結(jié)論;
(3)當圓心在拋物線上運動時,記,,求的最大值.

(1)x2="2y" ;(2)定值2;(3)

解析試題分析:(1)由焦點在y軸,頂點在原點的拋物線假設為,又C1經(jīng)過點P(2,2),即可求出拋物線的.即可得拋物線的方程.
(2)當圓心在拋物線上運動時,寫出圓的方程,再令y=0即可求得圓的方程與x軸的兩交點的坐標,計算兩坐標的差即可得到結(jié)論.
(3)當圓心在拋物線上運動時,由(1)可得M,N的坐標(其中用圓心的坐標表示).根據(jù)兩點的距離公式即可用圓心的坐標表示m,n的值,將適當變形,再根據(jù)基本不等式即可求得的最大值.
(1)由已知,設拋物線方程為x2=2py,22=2p×2,解得p=1.
所求拋物線C1的方程為x2=2y.-------3分
(2)法1:設圓心C2(a,a2/2),則圓C2的半徑r=
圓C2的方程為.
令y=0,得x2-2ax+a2-1=0,得x1=a-1,x2=a+1.
|MN|=|x1-x2|=2(定值).------7分
法2:設圓心C2(a,b),因為圓過A(0,1),所以半徑r=,
,因為C2在拋物線上,a2=2b,且圓被x軸截得的弦長
|MN|=(定值)---7分
(3)由(2)知,不妨設M(a-1,0),N(a+1,0),

考點:1.拋物線的性質(zhì).2.最值問題.3.基本不等式的應用.

練習冊系列答案
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