Question

已知在數(shù)列{a_n}和{b_n}中，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，S_n+n²=n（a_n+1），b_n=a_2n-1，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意和數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n與a_n關(guān)系式，得n≥2時(shí)，S_n-1+（n-1）²=（n-1）（a_n-1+1），兩式相減再化簡后，利用等差數(shù)列的定義判斷，由等差數(shù)列的定通項(xiàng)公式求出a_n，代入b_n=a_2n-1化簡即可．

解答： 解：由題意知，S_n+n²=n（a_n+1），
則n≥2時(shí)，S_n-1+（n-1）²=（n-1）（a_n-1+1），
兩式相減可得（n-1）a_n-（n-1）a_n-1-2n+2=0，
即（n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又n≥2，則n-1≥1，所以a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
所以數(shù)列{a_n}是1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
則a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
所以b_n=a_2n-1=2（2n-1）-1=4n-3，
則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=4n-3．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n與a_n關(guān)系式，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．