Question

已知函數f（x）滿足f（x-1）=-f（-x+1），且當x≤0時，f（x）=x³，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2

2

f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據條件確定函數是奇函數，求出函數f（x）的表達式，并判斷函數的單調性，利用函數的單調性將不等式恒成立進行轉化，即可求出t的最大值．

解答： 解：由f（x-1）=-f（-x+1），得f（x0）=-f（-x-1+1）=-f（x），
即函數f（x）是奇函數，
若x＞0，則-x＜0，則f（-x）=-x³=-f（x），
即f（x）=x³，（x＞0），
綜上f（x）=x³，
則不等式f（x+t）≥2

2

f（x）等價為不等式f（x+t）≥f（

2

x），
∵f（x）=x³，為增函數，
∴不等式等價為x+t≥

2

x在x∈[t，t+2]恒成立，
即：t≥（

2

-1）x，在x∈[t，t+2]恒成立，
即t≥（

2

-1）（t+2），
即（2-

2

）t≥2（

2

-1），
則t≥

2( 2 -1)

2- 2

=

2

，
故實數t的取值范圍[

2

，+∞），
故答案為：[

2

，+∞）

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數的奇偶性求出函數的表達式以及判斷函數的單調性是解決本題的關鍵．