Question

【題目】已知函數 (x>0)，設fn(x)為fn－1(x)的導數，n∈N*.

(1)求的值；

(2)證明：對任意的n∈N*，等式都成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據條件和結論先將原函數化為： 然后兩邊求導后根據條件兩邊再求導得： ，把 代入式子求值；
（2）由（1）得， 和，利用相同的方法再對所得的式子兩邊再求導，并利用誘導公式對所得式子進行化簡、歸納，再進行猜想得到等式，用數學歸納法進行證明等式成立.

試題解析：(1)解　由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，所以f1＝－，f2＝－＋，

故2f1＋f2＝－1.

(2)證明　由已知，得xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對x求導，得f0(x)＋xf′0(x)＝cos x，即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin，類似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，

3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin.

下面用數學歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)

＝sin對所有的n∈N*都成立.

(ⅰ)當n＝1時，由上可知等式成立.

(ⅱ)假設當n＝k時等式成立，

即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.

因為[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，

′＝cos·′＝sin，

所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.

因此當n＝k＋1時，等式也成立.

綜合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)

＝sin對所有的n∈N*都成立.

令x＝，可得nfn－1＋fn

＝sin (n∈N*).

所以＝ (n∈N*).