Question

17．設(shè)實數(shù)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{2x-y≥-2}\\{2x-3y≤3}\end{array}}\right.$，則2x+y的最小值為$\frac{2}{3}$，若4x²+y²≥a恒成立，則實數(shù)a的最大值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由題意作平面區(qū)域，從而利用線性規(guī)劃求2x+y的最小值，易知4x²+y²的最小值在直線x=1-y上取得，從而解得．

解答 解：由題意作平面區(qū)域如下，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{x=1-y}\end{array}\right.$解得，
x=-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{4}{3}$；
故2x+y的最小值為2×（-$\frac{1}{3}$）+$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$；
易知4x²+y²的最小值在直線x=1-y上取得，
4x²+y²=4（1-y）²+y²
=5y²-8y+4=5（y-$\frac{4}{5}$）²+$\frac{4}{5}$，
故4x²+y²≥$\frac{4}{5}$，
故實數(shù)a的最大值為$\frac{4}{5}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的解法及應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用．