Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極值.

（1）求，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)，時，.

Answer 1

【答案】（1），在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)極值點可求出，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間；
（2）法一，由函數(shù)單調(diào)性可得變形可得，利用不等式的性質(zhì)可放縮得到，構(gòu)造函數(shù)可利用導(dǎo)數(shù)求最小值為0，即可得證；法二由函數(shù)單調(diào)性可得變形可得，由不等式性質(zhì)可得，令，由導(dǎo)數(shù)可求出即可得證.

（1），由是極值點得，∴，

∴，∴，

由得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；

由得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）法一：由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故，即，故.

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

∵，∴，

∴，

∵，∴，∵，∴，

令，∴，

由得，∴在上單調(diào)遞增；

由得，∴在上單調(diào)遞減，

∴，即在處取等號，

∴，

由于取等條件不同，∴.

法二：由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

∵，，∴，

令，，

由得，∴在上單調(diào)遞增；

由得，∴在上單調(diào)遞減，

∴，∴，

由于取等條件不同，故，整理得.