Question

已知x²+x≤6，求y=

1

4x

-

1

2x

+1的最大值和最小值，并求相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：由題意，先解一元二次不等式x²+x≤6，得出函數(shù)y=

1

4x

-

1

2x

+1的定義域，再令

1

2x

=t用換元法將此函數(shù)變?yōu)槎�次函�?shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，再由此時(shí)t的取值求出相應(yīng)的x的值

解答：解：由x²+x≤6，得-3≤x≤2…（2分）
令

1

2x

=t，則t∈[

1

4

，8]…（2分）
y=

1

4x

-

1

2x

+1=t2-t+1=(t-

1

2

)2+

3

4

…（2分）
則當(dāng)t=

1

2

，ymin=

3

4

，此時(shí)x=1；…（3分）
當(dāng)t=8，y_max=57，此時(shí)x=-3；…（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，解題的關(guān)鍵是利用換元法將指數(shù)型函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，利用換元法轉(zhuǎn)化是本題的重點(diǎn)，換元后求出新元t的取值范圍是解題的難點(diǎn)，換元法是一種非常重要的技巧，由于其變換后使得解析式大大簡(jiǎn)化，方便了解題，故在求函數(shù)值域及最值時(shí)應(yīng)用非常廣泛．