Question

用定義證明：f(x)=

2x

x2-1

在（-1，1）上單調(diào)遞減．

Answer 1

分析：用單調(diào)性的定義證明步驟：（1）取值，（2）作差，（3）化簡，（4）判號(hào)，（5）得結(jié)論．

解答：解：在（-1，1）上任取兩實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

x12-1

-

2x2

x22-1

=

2(x1x2+1)(x2-x1)

(x1+1)(x1-1)(x2+1)(x2-1)

，
因?yàn)?1＜x₁＜x₂＜1，所以-1＜x₁•x₂＜1，x₁•x₂+1＞0，
x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₁-1＜0，x₂+1＞0，x₂-1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f(x)=

2x

x2-1

在（-1，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考察函數(shù)單調(diào)性的證明，主體部分是化簡和判號(hào)，要細(xì)心．