Question

1．已知${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}}）^n}$的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256．
（Ⅰ）證明：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；
（Ⅱ）求展開式中所有有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出n，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得到常數(shù)項(xiàng)，方程無解即可證明結(jié)論成立；
（Ⅱ）令展開式中的x的指數(shù)為有理數(shù)，求出k值，再求出相應(yīng)的有理項(xiàng)．

解答 證明：（Ⅰ）依題意得：2ⁿ=256，∴n=8…2分，
∴${T_{r+1}}=C_8^r{（{\sqrt{x}}）^{8-r}}{（{-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}}）^r}={（{-1}）^r}\frac{C_8^r}{2^r}•{x^{4-\frac{3r}{4}}}$，
令$4-\frac{3r}{4}=0$得，$r=\frac{16}{3}$∉N^*，
∴展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)．…5分
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${T}_{r+1}={（-1）}^{r}\frac{{C}_{8}^{r}}{{2}^{r}}•{x}^{4-\frac{3r}{4}}$，
當(dāng)r=0，4，8時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，
∴展開式中所有有理項(xiàng)為：${x^4}\;，\;\frac{35}{8}x\;，\;\frac{1}{{256{x^2}}}$．…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．