Question

已知數(shù)列{a_n}中a1=

3

5

，an=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N⁺），數(shù)列{b_n}，滿足bn=

1

an-1

（n∈N⁺）
（1）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由；
（3）記S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim n→∞

(n-1)bn

Sn+1

．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得bn=

an-1

an-1-1

，從而有bn-1=

1

an-1-1

，利用等差數(shù)列的定義即可證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）由（1）可求得b_n=n-3.5，從而求得an-1=

1

n-3.5

，構(gòu)造函數(shù)y=

1

x-3.5

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而可求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)；
（3）由于數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b_n=n-3.5，利用等差數(shù)列的求和公式可求得S_n+1，從而可得，

(n-1)bn

Sn+1

，

lim n→∞

(n-1)bn

Sn+1

可求．

解答：證明：（1）∵bn=

1

an-1

=

1

2- 1 an-1-1

=

an-1

an-1-1

，
而　bn-1=

1

an-1-1

，
∴bn-bn-1=

an-1

an-1-1

=

1

an-1-1

=1．（n∈N⁺）
∴{b_n}是首項(xiàng)為b1=

1

a1-1

=-

5

2

，公差為1的等差數(shù)列．
（2）依題意有an-1=

1

bn

，而bn=-

5

2

+(n-1)•1=n-3.5，
∴an-1=

1

n-3.5

．
對(duì)于函數(shù)y=

1

x-3.5

，在x＞3.5時(shí)，y＞0，y'＜0，在（3.5，+∞）上為減函數(shù)．
故當(dāng)n=4時(shí)，an=1+

1

n-3.5

取最大值3
而函數(shù)y=

1

x-3.5

在x＜3.5時(shí)，y＜0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，在（-∞，3.5）上也為減函數(shù)．
故當(dāng)n=3時(shí)，取最小值，a₃=-1．
（3）Sn+1=

(n+1)(- 5 2 + 2n-5 2 )

2

=

(n+1)(n-5)

2

，b_n=n-3.5，
∴

lim

n→

∞

(n-1)bn

Sn+1

=

lim

n→

∞

2(n-1)(n-3.5)

(n+1)(n-5)

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限，重點(diǎn)考察等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，及求極限，屬于綜合性較強(qiáng)的難題．