Question

已知函數(shù)f（x）=x²-bx+c，且f（0）=3，f（1）=0．求：
（1）函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）函數(shù)f（x）在[-1，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²-bx+c，且f（0）=3，f（1）=0得出善于b，c的方程，解之即可；
（2）由題意函數(shù)為二次函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)值域，因?yàn)槎�義域?yàn)殚]區(qū)間，所以只要求二次函數(shù)在定義域中的極值與區(qū)間端點(diǎn)值，這幾個(gè)函數(shù)值的大小即可求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由題意得

c=3 1-b+c=0

解得 a=4，c=3，因此f（x）的解析表達(dá)式為 f（x）=x²-4x+3；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²-4x+3的定義域是[-1，3]，由函數(shù)f（x）求導(dǎo)得：f^′（x）=2x-4，令2x-4=0得：x=2，
當(dāng)x∈[-1，2]，時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[2，3]，時(shí)，f^′（x）＞0，函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞增；
所以x=2是函數(shù)在定義域上的極小值，也應(yīng)為最小值，
最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，
而f（2）=-1，f（-1）=8，f（3）=0，
∴最大值為f（-1）=8，
所以函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋篬-1，8]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，實(shí)質(zhì)是比較函數(shù)在該定義域下的極值與區(qū)間端點(diǎn)值等若干函數(shù)值的大�。�