Question

設a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，寫出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間（不必證明）；
（3）若存在a∈[3，6]，使得關于x的方程f（x）=t+2a有三個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據圖象可判斷最大值．（2）分類討論；①當x≥a時，f（x）=（x-

a-2

2

）²-

(a-2)2

4

．②當x＜a時，f（x）=-（x-

a-2

2

）²-

(a-2)2

4

．求解即可．
（3）求解關于x的方程f（x）=t+2a有三個不相等的實數(shù)解，根據單調性分類討論求解．

解答： （1）當a=2，x∈[0，3]時，f（x）=x|x-2|=

x2，x≥2 -x2+4x，0≤x＜2

作函數(shù)圖象，

可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上是增函數(shù)．
所以f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為f（3）=9．
（2）f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

①當x≥a時，f（x）=（x-

a-2

2

）²-

(a-2)2

4

．
因為a＞2，所以

a-2

2

＜a．
所以f（x）在[a，+∞）上單調遞增．
②當x＜a時，f（x）=-（x-

a-2

2

）²-

(a-2)2

4

．
因為a＞2，所以

a+2

2

＜a．
所以f（x）在（-∞，

a+2

2

]上單調遞增，在[

a+2

2

，a]上單調遞減．
綜上所述，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，

a+2

2

]和[a，+∞），遞減區(qū)間是[

a+2

2

，a]．
（3）當3≤a≤6時，由（1）知f（x）在（-∞，

a+2

2

]，[a，+∞）上分別是增函數(shù)，
在[

a+2

2

，a]上是減函數(shù)，
當且僅當2a＜t+2a＜

(a+2)2

4

時，方程f（x）=t+2a有三個不相等的實數(shù)解．
即 0＜t＜

(a+2)2

4

令，g（a）=

(a-2)2

4

在a∈[3，6]時是增函數(shù)，
故g（a）_max=4．
∴實數(shù)t的取值范圍是（0，4）．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調性，方程的根，函數(shù)的零點問題，屬于難題．