Question

以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：

①雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；

②在平面內(nèi), 設(shè)、為兩個定點(diǎn),為動點(diǎn),且,其中常數(shù)為正實(shí)數(shù)，則動點(diǎn)的軌跡為橢圓；

③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有且僅有3條。

其中真命題的序號為         （寫出所有真命題的序號）．

 

Answer 1

【答案】

①④

【解析】

試題分析：①在雙曲線中，，所以雙曲線的的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，在橢圓中，，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以它們有相同的焦點(diǎn)，①正確；

②在平面內(nèi), 設(shè)、為兩個定點(diǎn),為動點(diǎn),且,其中常數(shù)為正實(shí)數(shù)，則動點(diǎn)的軌跡為橢圓；錯誤。當(dāng)，動點(diǎn)P的軌跡是橢圓；當(dāng)時，動點(diǎn)P的軌跡為線段AB；當(dāng)時，動點(diǎn)P的軌跡不存在。

③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，錯誤，橢圓的離心率在內(nèi)，雙曲線的離心率大于1.

④過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有且僅有3條。當(dāng)垂直x軸時，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程可求出另兩條。

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)；橢圓的定義。

點(diǎn)評：（1）注意橢圓中的關(guān)系式與雙曲線中的關(guān)系式的不同；（2）在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)2a（）的點(diǎn)的軌跡為橢圓，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為線段；當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡不存在。