Question

記數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，且Sn=

c

2

n2+(1-

c

2

)n（c為常數(shù)，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求c的值；
（2）設(shè)bn=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n=1，易求a₁=S₁=1，當n≥2，可求得a_n=S_n-S_n-1=1+（n-1）c，檢驗后知，a_n=1+（n-1）c，再由a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比數(shù)列即可求得c；
（2）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，利用裂項法可求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），從而可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解（1）由S_n=

c

2

n²+（1-

c

2

）n得：S_n-1=

c

2

（n-1）²+（1-

c

2

）（n-1）（n≥2），
∴當n=1，a₁=S₁=1；
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=1+（n-1）c，
當n=1時，a₁=1滿足上式，
∴a_n=1+（n-1）c，
而a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比數(shù)列，
即（1+c）²=1+4c且c≠0，
解得c=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1．
∴b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定與錯位相減法求和的應用，求得c=2是關(guān)鍵，考查推理與運算能力，屬于中檔題．