證明：函數(shù)f（x）=
x
-
1
x
在（0，+∞）上是增函數(shù)．
分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義或?qū)?shù)或函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行證明即可．
解答：解：①方法1：（定義法）
設(shè)x1，x2是定義域（0，+∞）上任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=
x1
-
1
x1
-
x2
+
1
x2
=(
x1
-
x2
)+
x1-x2
x1x2

=
x1-x2
x1
+
x2
+
x1-x2
x1x2
=(x1-x2)(
1
x1
+
x2
+
1
x1x2
)，
∵0＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
1
x1
+
x2
+
1
x1x2
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函數(shù)f（x）=
x
-
1
x
在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②方法2：（導(dǎo)數(shù)法）
函數(shù)f（x）=
x
-
1
x
的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=
1
2
x
+
1
x2
，
∵x＞0，
∴f′(x)=
1
2
x
+
1
x2
＞0，
即函數(shù)f（x）=
x
-
1
x
在（0，+∞）上是增函數(shù)．
③法3：（函數(shù)性質(zhì)法）
∵函數(shù)y=
x
在（0，+∞）上是增函數(shù)，y=-
1
x
在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=
x
-
1
x
=
x
+（-
1
x
）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．
點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法和導(dǎo)數(shù)法是解決函數(shù)單調(diào)性的基本方法．要求熟練掌握常見證明函數(shù)單調(diào)性的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2，g（x）=x，x∈R，a為實常數(shù)．
（1）若a＞0，設(shè)F(x)=
f(x)g(x)
，x≠0，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)F（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三個不相等的實數(shù)解，求a的值所組成的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

探究函數(shù)f（x）=x+
4
x
，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間
（0，2）
（0，2）
上遞減；并利用單調(diào)性定義證明．函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．當x=
2
2
時，y最小=
4
4
．
（2）函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＜0）時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•安徽模擬）定義：對于函數(shù)f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）對定義域內(nèi)的x恒成立，則稱函數(shù)f（x）為?函數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=ex1nx為?函數(shù)．
（Ⅱ）對于定義域為（0，+∞）的?函數(shù)f（x），求證：對于定義域內(nèi)的任意正數(shù)x1，x2，…，xn，均在f（1n（x1+x2+…+xn））＞f（1nx1）+f（1nx2）．+…+f（1nxn）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：函數(shù)f（x）=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內(nèi)有唯一的零點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
1-
1
x
，x＞0
(a-1)x+1，x≤0

（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）求函數(shù)f（x）的零點．

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