Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}，（n≥1，n∈N）滿足a₁=2，a₂=6，且（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，若[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則[$\frac{2016}{{a}_{1}}$+$\frac{2016}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$]=2015．

Answer 1

分析 構(gòu)造b_n=a_n+1-a_n，可判數(shù)列{b_n}是4為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，累加法可得a_n=n（n+1），裂項(xiàng)相消法可得答案．

解答 解：構(gòu)造b_n=a_n+1-a_n，則b₁=a₂-a₁=4，
由題意可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=b_n+1-b_n=2，
故數(shù)列{b_n}是4為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，
故b_n=a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
故a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，a₄-a₃=8，…，a_n-a_n-1=2n，
以上n-1個(gè)式子相加可得a_n-a₁=$\frac{（n-1）（4+2n）}{2}$，解得a_n=n（n+1），
故$\frac{2016}{{a}_{1}}$+$\frac{2016}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$=2016（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$）
=2016（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=2016-$\frac{2016}{2017}$，
∴[$\frac{2016}{{a}_{1}}$+$\frac{2016}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$]=2015，
故答案為：2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及等差數(shù)列的判定和累加法以及裂項(xiàng)相消法求和，屬中檔題．