Question

（2009•黃浦區(qū)二模）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數(shù)）對(duì)任意n∈N^*都成立，則我們把數(shù)列{a_n}稱為“L型數(shù)列”．
（1）試問(wèn)等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}（公比為r）是否為L(zhǎng)型數(shù)列？若是，寫出對(duì)應(yīng)p、q的值；若不是，說(shuō)明理由．
（2）已知L型數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+1-4a_n+4a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），證明：數(shù)列{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列，并進(jìn)一步求出{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析：（1）等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}（n∈N^*）都是L型數(shù)列，然后分別找出符合題意的p和q即可．
（2）將a_n+1-4a_n+4a_n-1=0（n≥2，n∈N^*）化成a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1），根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行判定即可，然后求出新數(shù)列的通項(xiàng)，在等式兩側(cè)同除以2ⁿ，可得{

an

2n

}是以

a1

2

為首項(xiàng)，公差為

1

4

的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)即可求出a_n．

解答：解：（1）答：等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}（n∈N^*）都是L型數(shù)列．
理由　當(dāng)數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列時(shí)，有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，（1分）
即a_n+2-2a_n+1+a_n=0，且相應(yīng)的p=-2，q=1．                         （3分）
所以等差數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是L型數(shù)列．　　　　　　　　　　　　　　 （4分）
同樣，當(dāng)數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是等比數(shù)列時(shí)，有b_n+2=rb_n+1（r為公比），（5分）
即b_n+2-rb_n+1+0•b_n=0，且相應(yīng)的p=-r，q=0．     　               （7分）
所以等比數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是L型數(shù)列．　　　　　　　　　　　　　    （8分）
證明　（2）∵a_n+1-4a_n+4a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1
=2（a_n-2a_n-1）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。�10分）
又a₂-2a₁=3-2=1（≠0），
∴數(shù)列{a_n+1-2a_n}（n∈N^*）是以（a₂-2a₁）為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．　�。�12分）
于是，a_n-2a_n-1=（a₂-2a₁）•2^n-2，即a_n-2a_n-1=2^n-2（n≥2，n∈N^*）．
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

4

(n≥2，n∈N*)．因此，{

an

2n

}是以

a1

2

為首項(xiàng)，公差為

1

4

的等差數(shù)列．（14分）
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)•

1

4

，an=

1

2

•2n+

1

4

(n-1)•2n=

1

4

(n+1)•2n(n∈N*)
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=

1

4

(n+1)•2n(n∈N*)．　　　　　　　　　（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，同時(shí)考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，構(gòu)造新數(shù)列是常用的方法，屬于中檔題．