[2012·課標(biāo)全國(guó)卷] 如圖1－4，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．

(1)證明：平面BDC1⊥平面BDC；

(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

圖1－4

解：(1)證明：由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

(2)設(shè)棱錐B－DACC1的體積為V1，AC＝1.由題意得

V1＝××1×1＝.

又三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝1，

所以(V－V1)∶V1＝1∶1.

故平面BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比為1∶1.

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