Question

已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和，若T_n≤λa_n+1對(duì)?n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出此等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡S₄=14得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的關(guān)系式，又a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的另一關(guān)系式，兩關(guān)系式聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可；（II）把（I）中求出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列中，根據(jù)

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，列舉出數(shù)列的前n項(xiàng)和的每一項(xiàng)，抵消后得到T_n的通項(xiàng)公式，將求出的T_n的通項(xiàng)公式和a_n+1的通項(xiàng)公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一個(gè)關(guān)系式，利用基本不等式求出這個(gè)關(guān)系式的最大值，即可得到實(shí)數(shù)λ的最小值．

解答：解：（I）設(shè)公差為d，由已知得：

S4=14 a32=a1a7

，
即

4a1+ 4×3 2 d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得：d=1或d=0（舍去），
∴a₁=2，
故a_n=2+（n-1）=n+1；
（II）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∵T_n≤λa_n+1對(duì)?n∈N^*恒成立，即

n

2(n+2)

≤λ（n+2），λ≥

n

2(n+2)2

?n∈N^*恒成立，
又

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

2(4+4)

=

1

16

，
∴λ的最小值為

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡求值，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，掌握不等式恒成立時(shí)滿足的條件，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題．學(xué)生在求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和時(shí)，注意利用

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．