(2012•惠州模擬)如圖,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中點.
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求證:平面BCE⊥平面CDE;
(3)求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小.
分析:(1)取CE中點P,連接FP、BP,根據(jù)中位線定理可知FP∥DE,且FP=
1
2
DE
,而AB∥DE,且AB=
1
2
DE
則ABPF為平行四邊形,則AF∥BP,AF?平面BCE,BP?平面BCE,滿足線面平行的判定定理,從而證得結(jié)論;
(2)根據(jù)AB⊥平面ACD,DE∥AB,則DE⊥平面ACD,又AF?平面ACD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知DE⊥AF.又AF⊥CD,CD∩DE=D,滿足線面垂直的判定定理,證得AF⊥平面CDE,又BP∥AF,則BP⊥平面CDE,BP?平面BCE,根據(jù)面面垂直的判定定理可證得結(jié)論;
(3)由(2),以F為坐標(biāo)原點,F(xiàn)A,F(xiàn)D,F(xiàn)P所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz.設(shè)AC=2,根據(jù)線面垂直求出平面BCE的法向量n,而m=(0,0,1)為平面ACD的法向量,設(shè)平面BCE與平面ACD所成銳二面角為α,根據(jù)cosα=
|m•n|
|m|•|n|
可求出所求.
解答:(1)證:取CE中點P,連接FP、BP,
∵F為CD的中點,∴FP∥DE,且FP=
1
2
DE

又AB∥DE,且AB=
1
2
DE
.∴AB∥FP,且AB=FP,
∴ABPF為平行四邊形,∴AF∥BP.…(2分)
又∵AF?平面BCE,BP?平面BCE,
∴AF∥平面BCE. …(4分)
(2)∵△ACD為正三角形,∴AF⊥CD.
∵AB⊥平面ACD,DE∥AB,
∴DE⊥平面ACD,又AF?平面ACD,
∴DE⊥AF.又AF⊥CD,CD∩DE=D,
∴AF⊥平面CDE. …(6分)
又BP∥AF,∴BP⊥平面CDE.又∵BP?平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE. …(8分)
(3)由(2),以F為坐標(biāo)原點,F(xiàn)A,F(xiàn)D,F(xiàn)P所在的直線分別為x,y,z軸(如圖),
建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz.設(shè)AC=2,
則C(0,-1,0),B(-
3
,0,1),E(0,1,2)
.…(9分)
設(shè)n=(x,y,z)為平面BCE的法向量,
n•
CB
=0,n•
CE
=0,
-
3
x+y+z=0
2y+2z=0
令z=1,則n=(0,-1,1).…(10分)
顯然,m=(0,0,1)為平面ACD的法向量.
設(shè)平面BCE與平面ACD所成銳二面角為α,則cosα=
|m•n|
|m|•|n|
=
1
2
=
2
2

α=45°,即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°.…(12分)
點評:本題主要考查了線面平行的判定,以及面面垂直的判定和利用空間向量定理二面角的平面角,同時考查了空間想象能力和推理論證的能力,屬于中檔題.
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x2
m
+y2=1
的離心率為( 。

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(2012•惠州模擬)已知橢圓C:  
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的離心率為
6
3
,且經(jīng)過點(
3
2
,
1
2
)

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(2012•惠州模擬)計算:
1
-1
1-x2
dx
=
π
2
π
2

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