Question

18．設橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，P是C上的點，PF₁⊥PF₂，∠PF₁F₂=60⁰，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據題意，作出橢圓的圖形，分析可得△PF₁F₂為直角三角形，且∠PF₁F₂=60°，則有|PF₁|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，由橢圓的性質計算可得2a與c的關系，由橢圓的離心率的公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，如圖，F₁，F₂為橢圓C的兩個焦點，
則|F₁F₂|=2c，
又由PF₁⊥PF₂，∠PF₁F₂=60°，
則△PF₁F₂為直角三角形，且∠PF₁F₂=60°，
則有|PF₁|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，
則有2a=|PF₁|+|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）c，
即a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，
則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1；
故選：B．

點評 本題考查橢圓的幾何性質，注意借助直角三角形的性質分析a、c的關系．