【題目】如圖所示,已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點(diǎn),點(diǎn)A是長軸的一個(gè)端點(diǎn),BC過橢圓中心O,且,|BC|=2|AC|.

(1)求橢圓E的方程;

(2)在橢圓E上是否存點(diǎn)Q,使得?若存在,有幾個(gè)(不必求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)),若不存在,請(qǐng)說明理由.

(3)過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P,作的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N,若直線MNx軸、y軸上的截距分別為m、n,證明:為定值.

【答案】(1)(2)滿足條件的點(diǎn)Q存在,且有兩個(gè)(3)見解析,

【解析】試題分析:(1)依題意有,再根據(jù)幾何條件得三角形AOC為等腰直角三角形,即得點(diǎn)C的坐標(biāo),代入橢圓方程可得,(2)先用坐標(biāo)化簡,得點(diǎn)Q在直線上,再根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù),即得滿足條件的點(diǎn)Q個(gè)數(shù),(3)設(shè)點(diǎn),先利用兩圓公共弦求切點(diǎn)弦MN方程,解得截距,根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上化簡,得定值.

試題解析:(1)依題意知:橢圓的長半軸長,則A(2,0),

設(shè)橢圓E的方程為

由橢圓的對(duì)稱性知|OC|=|OB| 又∵,|BC|=2|AC|

ACBC,|OC|=|AC| ∴△AOC為等腰直角三角形,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-1) ,

C的坐標(biāo)(1,1)代入橢圓方程得

∴所求的橢圓E的方程為

(2)設(shè)在橢圓E上存在點(diǎn)Q,使得,設(shè),則

即點(diǎn)Q在直線上,

∴點(diǎn)Q即直線與橢圓E的交點(diǎn),

∵直線過點(diǎn),而點(diǎn)橢圓在橢圓E的內(nèi)部,

∴滿足條件的點(diǎn)Q存在,且有兩個(gè).

(3)設(shè)點(diǎn),由M、N是的切點(diǎn)知,,

∴O、M、P、N四點(diǎn)在同一圓上,

且圓的直徑為OP,則圓心為,

其方程為,

-----④

即點(diǎn)M、N滿足方程④,又點(diǎn)M、N都在上,

∴M、N坐標(biāo)也滿足方程---------------⑤

⑤-④得直線MN的方程為,

,令,

,又點(diǎn)P在橢圓E上,

,即=定值.

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將學(xué)生日均課外體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.

(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;

課外體育不達(dá)標(biāo)

課外體育達(dá)標(biāo)

合計(jì)

20

110

合計(jì)

(2)通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?

參考格式:,其中

0.025

0.15

0.10

0.005

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

2.072

6.635

7.879

5.024

6.635

7.879

10.828

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