Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S₂₀；
（3），是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N^*，均有成立？若存在，求出m，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n
∴{a_n}為等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d…（1分）
又a₁=8，a₄=2，∴8+3d=2，∴a₁=8，d=-2
∴a_n=-2n+10 …（3分）
（2）∵a_n=-2n+10，∴n≤5時(shí)，a_n≥0；n≥6時(shí)，a_n＜0…（4分）
∴n≥6時(shí)，…（7分）
∴S₂₀=260…（8分）
（3）由（1）可得
則T_n=b₁+b₂+…+b_n=…（10分）
由T_n為關(guān)于n的增函數(shù)，故，
于是欲使恒成立，則，∴m＜6
∴存在最大的整數(shù)m=5滿足題意…（12分）
分析：（1）先判斷{a_n}為等差數(shù)列，再求出公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)通項(xiàng)確定其正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)，從而可求S₂₀；
（3）利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，求出最小值，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求和是關(guān)鍵．