Question

8．設(shè)雙曲線C：$\frac{y^2}{4}$-x²=1，則其兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，±$\sqrt{5}$）；若雙曲線C₁經(jīng)過點(diǎn)（$\sqrt{5}$，-2），且與雙曲線C具有相同的漸近線，則雙曲線C₁的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 求得雙曲線C：$\frac{y^2}{4}$-x²=1的a，b，c，可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)；由與雙曲線C具有相同的漸近線的雙曲線C₁的方程設(shè)為$\frac{y^2}{4}$-x²=m（m≠0），代入點(diǎn)（$\sqrt{5}$，-2），解方程可得m，進(jìn)而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{y^2}{4}$-x²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，
可得焦點(diǎn)為（0，±$\sqrt{5}$）；
與雙曲線C具有相同的漸近線的雙曲線C₁的方程設(shè)為：
$\frac{y^2}{4}$-x²=m（m≠0），
代入點(diǎn)（$\sqrt{5}$，-2），可得m=$\frac{4}{4}$-5=-1，
可得雙曲線C₁的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：（0，±$\sqrt{5}$）；x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是焦點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程，注意運(yùn)用雙曲線的方程和漸近線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．