Question

已知全集U=R，非空集合A={x|

x-2

x-(3a+1)

＜0}，B={x|

x-a2-2

x-a

＜0}．命題p：x∈A，命題q：x∈B
（Ⅰ）當a=

1

2

時，若p真q假，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若q是p的必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：不等式的解法及應用,簡易邏輯

分析：（Ⅰ）將a代入，化簡集合A，B，由p真q假即求A∩（C_UB）；
（Ⅱ）由q是p的必要條件得到p⇒q，所以A⊆B由此得到集合端點的關系解之．

解答： 解：（Ⅰ）當a=

1

2

時，A={x|

x-2

x- 5 2

＜0}={x|2＜x＜

5

2

}，B={x|

x- 9 4

x- 1 2

＜0}={x|

1

2

＜x＜

9

4

}，
則C_UB={x|x≤

1

2

，或者x≥

9

4

}，若p真q假，則A∩C_UB={x|

9

4

≤x＜

5

2

}．
所以a=

1

2

時，p真q假，x的取值范圍是{x|

9

4

≤x＜

5

2

}．
（Ⅱ）若q是p的必要條件，即p⇒q，可知A⊆B．---------（5分）
因為a²+2＞a，所以B={x|a＜x＜a²+2}．--------------（6分）
當3a+1＞2，即a＞

1

3

時，A={x|2＜x＜3a+1}，由A⊆B得

a≤2 a2+2≥3a+1

，
解得

1

3

＜a≤

3- 5

2

；--------------（8分）
當3a+1=2，即a=

1

3

時，A=∅，符合題意；
當3a+1＜2，即a＜

1

3

時，A={x|3a+1＜x＜2}，
由A⊆B得

a≤3a+1 a2+2≥2

解得-

1

2

≤a＜

1

3

；--------------（10分）
綜上，a∈{x|-

1

2

，

3- 5

2

}．--------------（12分）

點評：本題考查了不等式的解法以及復合命題的運用，關鍵是由已知條件得到關于不等式端點的關系，同時考查了討論的思想，屬于中檔題．