已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問(wèn)：是否存在斜率為1的直線l被圓C截得弦AB，且以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　解：假設(shè)存在k＝1的直線l，使它被圓C截出弦AB，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則OA⊥OB．設(shè)l的方程為y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0．∵l與圓C交于兩點(diǎn)，∴Δ＞0，即(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)＞0．∴b2＋6b－9＜0，即①．而x1＋x2＝－b－1，x1·x2＝，∴y1·y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝－b2－b＋b2＝．據(jù)OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，即b2＋3b－4＝0．解之，得b＝1或b＝－4，而b＝1或b＝－4均滿足①．

　　∴存在直線l：y＝x＋1或y＝x－4使它被圓截得弦AB，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C：x2-8x+y2-9=0，過(guò)點(diǎn)M（1，3）作直線交圓C于A，B兩點(diǎn)，△ABC面積的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C：x2-2ax+y2-10y+a2=0（a＞0）截直線x+y-5=0的弦長(zhǎng)為5
2
；
（1）求a的值；
（2）求過(guò)點(diǎn)P（10，15）的圓的切線所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C：x2-2x+y2-2=0，點(diǎn)A（-2，0）及點(diǎn)B（4，a），從A點(diǎn)觀察B點(diǎn)，要使視線不被圓C擋住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C：x2-2x+y2=0，直線l：x+y-4=0．
（1）若直線l′⊥l且被圓C截得的弦長(zhǎng)為
3
，求直線l′的方程；
（2）若點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB與圓C相切于點(diǎn)A、B，求四邊形PACB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C：x2-2ax+y2-4y+a2=0（a＞0）及直線l：x-y+3=0，當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2
2
時(shí)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，5）并與圓C相切的切線方程．

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