Question

11．已知平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$，滿足$\overrightarrow a$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$•$\overline c$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$=1，則|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$|的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{14}$
• D． 16

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到$|\overrightarrow{a}|=1$，這樣可設(shè)$\overrightarrow{a}=（cosθ，sinθ），\overrightarrow=（{x}_{1}，{y}_{1}），\overrightarrow{c}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，根據(jù)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow•\overrightarrow{c}=1$進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便可得出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}cosθ+{y}_{1}sinθ=1}&{①}\\{{x}_{2}cosθ+{y}_{2}sinθ=2}&{②}\\{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=1}&{③}\end{array}\right.$（1），而①+②便可得到（x₁+x₂，y₁+y₂）•（cosθ，sinθ）=3，從而可以得到$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}=\frac{9}{co{s}^{2}α}≥9$，其中α表示向量（x₁+x₂，y₁+y₂）和（cosθ，sinθ）的夾角．可求出向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，從而根據(jù)不等式組（1）便可求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}+7$，這樣即可得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}=1$；
∴$|\overrightarrow{a}|=1$；
∴設(shè)$\overrightarrow{a}=（cosθ，sinθ）$，$\overrightarrow=（{x}_{1}，{y}_{1}），\overrightarrow{c}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$；
∴由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow•\overrightarrow{c}=1$得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}cosθ+{y}_{1}sinθ=1}&{①}\\{{x}_{2}cosθ+{y}_{2}sinθ=2}&{②}\\{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=1}&{③}\end{array}\right.$；
∴①+②得：（x₁+x₂）cosθ+（y₁+y₂）sinθ=3；
即（x₁+x₂，y₁+y₂）•（cosθ，sinθ）=3；
∴$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}cosα=3$，α表示向量（x₁+x₂，y₁+y₂）和（cosθ，sinθ）的夾角；
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}=\frac{9}{co{s}^{2}α}≥9$，當(dāng)cosα=±1時(shí)取“=”；
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}=（cosθ+{x}_{1}+{x}_{2}，sinθ+{y}_{1}+{y}_{2}）$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}=（cosθ+{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$$+（sinθ+{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}$
=$co{s}^{2}θ+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}cosθ$+2x₂cosθ+2x₁x₂$+si{n}^{2}θ+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2{y}_{1}sinθ$+2y₂sinθ+2y₁y₂
=（cos²θ+sin²θ）$+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$+2[（x₁+x₂）cosθ+（y₁+y₂）sinθ]+2（x₁x₂+y₁y₂）
=$1+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$+6+2
=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）+9$
=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2+9$≥9-2+9=16；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|≥4$；
即$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|$的最小值為4．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式及其坐標(biāo)運(yùn)算，向量長(zhǎng)度為1的坐標(biāo)的設(shè)法，通過引入向量的坐標(biāo)解決向量問題的方法，以及根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度，向量夾角的概念及范圍，余弦函數(shù)的值域，以及向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，要求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|$的最小值，而去求$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}$的最小值的方法．