Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-

1

2

，當n≥2時，2a_n=a_n-1-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）設b_n=

1

2nanan+1

，數(shù)列{b_n}前n項的和為S_n，求證：S_n＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）由遞推公式構造構造數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，即求得；
（2）利用裂項相消法求和，再進行放縮．

解答： 解：（1）當n≥2時，2a_n=a_n-1-1⇒2（a_n+1）=a_n-1+1
∴

an+1

an-1+1

=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=

1

2

為首項，公比為

1

2

的等比數(shù)列--------3分
∴a_n+1=

1

2n

⇒a_n=

1

2n

-1-------------------------------6分
（2）b_n=

1

2n( 1 2n -1)( 1 2n+1 -1)

=

2n+1

(2n-1)(2n+1-1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）------9分
∴s_n=2（

1

21-1

-

1

22-1

）+2（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+2（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=2（1-

1

2n+1-1

）＜2-------------------------------------------12分

點評：本題考查遞推數(shù)列求通項公式的方法----構造法，及利用裂項相消法對數(shù)列求和，應多體會其特點．