Question

14．如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）若N是BC的中點，證明：AN∥平面CME；
（2）證明：平面BDE⊥平面BCD．
（3）求三棱錐D-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）連接MN，則MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，由側(cè)視圖可知AE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，故MN$\stackrel{∥}{=}$AE，于是四邊形ANME為平行四邊形，得出AN∥EM，于是AN∥平面BDE；
（2）由AB=AC可得AN⊥BC，由側(cè)面BCD⊥底面ABC可得AN⊥平面BCD，故而EM⊥平面BCD，于是平面BDE⊥平面BCD；
（3）以平面BCD為棱錐的底面，則EM為棱錐的高，利用直棱柱的結(jié)構(gòu)特征計算棱錐的底面積和高，得出體積．

解答 （1）證明：連接MN，則MN是△BCD的中位線，∴MN∥CD，MN=$\frac{1}{2}$CD．
由側(cè)視圖可知AE∥CD，AE=$\frac{1}{2}$CD，
∴MN=AE，MN∥AE
∴四邊形ANME為平行四邊形，
∴AN∥EM．∵AN?平面CME，EM?平面CME，
∴AN∥平面CME．
（2）證明：由俯視圖可知AC=AB，∵N是BC的中點，
∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AN?平面ABC，
∴AN⊥平面BCD．由（1）知AN∥EM，
∴EM⊥平面BCD．又EM?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD．
（3）解：由俯視圖得AB⊥AC，AB=AC=2，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵N是BC中點，∴AN=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，∴EM=$\sqrt{2}$．
由側(cè)視圖可知CD=4，CD⊥BC，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•CD$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4$=4$\sqrt{2}$．
∴V_D-BCE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•|EM|=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．