15.已知函數(shù)f(x)=$\frac{sinx}{x}$.
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點A(π,f(π))處的切線方程;
(Ⅱ)證明:若x∈(0,π),則f'(x)<0;
(Ⅲ)若0<α<$\frac{π}{2}$<β<2π,判定f(α)與f(β)的大小關系,并證明你的結論.

分析 (Ⅰ)求出原函數(shù)的導函數(shù),得到f′(π),再求出f(π),代入直線方程的點斜式得答案;
(Ⅱ)求出原函數(shù)的導函數(shù)f′(x)=$\frac{x•cosx-sinx}{{x}^{2}}$,令g(x)=x•cosx-sinx,可得g′(x)<0,得到g(x)在(0,π)上為減函數(shù),又g(x)<g(0)=0.可得f′(x)<0;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,f(x)在(0,π)上為減函數(shù),得到0<α<$\frac{π}{2}$<β<π時,f(α)>f(β);當π≤β<2π時,f(β)=$\frac{sinβ}{β}$<0,可得f(α)>f(β).

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=$\frac{x•cosx-sinx}{{x}^{2}}$,
f′(π)=-$\frac{1}{π}$,而f(π)=0,
∴曲線y=f(x)在點A(π,f(π))處的切線方程為y-0=$-\frac{1}{π}$(x-π),
即x+πy-π=0;
證明:(Ⅱ)f′(x)=$\frac{x•cosx-sinx}{{x}^{2}}$,
令g(x)=x•cosx-sinx,則g′(x)=cosx-x•sinx-cosx=-xsinx<0,
∴g(x)在(0,π)上為減函數(shù),則g(x)<g(0)=0.
∴f′(x)<0;
解:(Ⅲ)若0<α<$\frac{π}{2}$<β<2π,則f(α)>f(β).
事實上,當0<α<$\frac{π}{2}$<β<π時,
由(Ⅱ)知f′(x)<0,
故f(x)在(0,π)上為減函數(shù),
由0<α<$\frac{π}{2}$<β<π,可得f(α)>f(β);
當0<α<$\frac{π}{2}$,π≤β<2π時,f(α)=$\frac{sinα}{α}>0$,f(β)=$\frac{sinβ}{β}$<0,可得f(α)>f(β).
綜上,若0<α<$\frac{π}{2}$<β<2π,則f(α)>f(β).

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查利用導數(shù)求過曲線上某點處的切線方程,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法,是中檔題.

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