Question

3．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，P是橢圓C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，則橢圓C的離心率為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意得|OP|=|OA|cos60°=$\frac{a}{2}$，從而P（$\frac{a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），代入橢圓方程得a=$\frac{\sqrt{5}}{2}c$，由此能求出離心率．

解答 解：∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，P是橢圓C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
∠POA=60°，且OP⊥AP，
∴由題意得|OP|=|OA|cos60°=$\frac{a}{2}$，
∴由題意得P（$\frac{a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），代入橢圓方程得：$\frac{1}{16}+\frac{3{a}^{2}}{16^{2}}=1$，
∴a²=5b²=5（a²-c²），
∴a=$\frac{\sqrt{5}}{2}c$，
∴離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．