Question

已知y=f（x）是定義在R上奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+ax，且f（2）=4，
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求f（x）的表達(dá)式；
（3）解不等式f（x²+3）+f（-2x）≥0．

Answer 1

解：（1）∵y=f（x）是定義在R上奇函數(shù)且f（2）=4
∴f（-2）=-f（2）=-4，代入表達(dá)式得 4-2a=-4，
∴a=4 （4分）
（2）由已知條件，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+4x
設(shè)x＞0，則-x＜0，f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
于是f（x）=-f（-x）=-x²+4x
又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0
綜上所述，f（x）=（8分）
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，所以不等式f（x²+3）+f（-2x）≥0等價(jià)于f（x²+3）≥f（2x）
∵x²+3≥3＞0，
∴f（x²+3）=-（x²+3）²+4（x²+3）=-x⁴-2x²+3．
①當(dāng)2x≤0時(shí)，即x≤0時(shí)，f（2x）=（2x）²+4（2x）=4x²+8x
原不等式可化為：-x⁴-2x²+3≥4x²+8x，即x⁴+6x²+8x-3≤0，解之得2-≤x≤0
②當(dāng)2x＞0時(shí)，即x＞0時(shí)，f（2x）=-（2x）²+4（2x）=-4x²+8x
原不等式可化為：-x⁴-2x²+3≥-4x²+8x，x⁴-2x²+8x-3≤0，解之得0＜x＜-1
綜上所述，原不等式的解集為[2-，-1]（12分）
分析：（1）因?yàn)閒（x）是定義在R上奇函數(shù)，所以f（-2）=f（2）=4，代入表達(dá)式，并解之得a=4；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+4x，當(dāng)x＞0時(shí)，有f（-x）=-x²+4x，而f（0）=0，最后綜合可得f（x）的表達(dá)式；
（3）原不等式f（x²+3）+f（-2x）≥0等價(jià)于f（x²+3）≥f（2x），而x²+3≥3＞0，所以f（x²+3）=-（x²+3）²+4（x²+3）=-x⁴-2x²+3．接下來(lái)分x≤0和x＞0兩種情況加以討論，分別解關(guān)于x的不等式，最后綜合可得原不等式的解集．
點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)和分段函數(shù)為例，求函數(shù)的表達(dá)式并利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，著重考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．