Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（π-x）•sin（

π

2

+x）．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）運用誘導(dǎo)公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，進而根據(jù)正弦函數(shù)的餓性質(zhì)求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)（1）中單調(diào)性區(qū)間，可知f（x）在[-

π

12

，

π

4

]上單調(diào)增，在[

π

4

，

π

2

]單調(diào)減，進而分別求得在相應(yīng)區(qū)間上最大值和最小值．

解答：解：（1）f（x）=2sin（π-x）•sin（

π

2

+x）=2sinx•cosx=sin2x，
∴T=π，單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-

π

2

≤2x≤kπ+

π

2

，即-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ
（2）由（1）知函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為[-

π

4

+kπ，+kπ]，且x∈[-

π

12

，

π

2

]
當x∈[-

π

12

，

π

4

]函數(shù)單調(diào)增，最大值為1，最小值為-

1

2

當x∈[

π

4

，

π

2

]函數(shù)單調(diào)減，最大值為1，最小值為0
綜合可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的最大值為1，最小值為-

1

2

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期性，三角函數(shù)的單調(diào)性，誘導(dǎo)公式的運用等知識．