已知函數(shù)
(1)若f-1(mx2+mx+1)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),求函數(shù)y=f2(x)-2af(x)+3的最小值g(a).
(3)是否存在實(shí)數(shù)m>n>3,使得g(x)的定義域?yàn)閇n,m],值域?yàn)閇n2,m2],若存在,求出m、n的值;若不存在,則說明理由.
【答案】分析:(1)先求出的函數(shù)反函數(shù),再代入求出f-1(mx2+mx+1)的解析式;再把其定義域?yàn)镽轉(zhuǎn)化為mx2+mx+1>0恒成立,即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)先求出函數(shù)y=f2(x)-2af(x)+3的表達(dá)式,再結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法即可求出g(a)的表達(dá)式;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論知m>n>3,對應(yīng)g(x)=12-6x,在(3,+∞)上是減函數(shù);求出其最大最小值于條件相結(jié)合即可求出m、n之間的關(guān)系,進(jìn)而得到結(jié)論.
解答:解:(1)∵(x>0),…(2分)
,
由題知,mx2+mx+1>0恒成立,
∴10 當(dāng)m=0時(shí),1>0滿足題意;…(3分)
20 當(dāng)m≠0時(shí),應(yīng)有,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為0≤m<4.…(5分)
(2)∵x∈[-1,1],∴,
y=f2(x)-2af(x)+3=,…(7分)
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),ymin=g(a)=3-a2
當(dāng)a>3時(shí),ymin=g(a)=12-6a.
.        
(3)∵m>n>3,∴g(x)=12-6x,在(3,+∞)上是減函數(shù).
∵g(x)的定義域?yàn)閇n,m],值域?yàn)閇n2,m2],
,…(12分)
②-①得:6(m-n)=(m+n)(m-n),
∵m>n>3,∴m+n=6.但這與“m>n>3”矛盾.
∴滿足題意的m、n不存在.                 …(14分)
點(diǎn)評:本題考查轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想的應(yīng)用,由解題過程可以看出,通過轉(zhuǎn)化把f-1(mx2+mx+1)的定義域?yàn)镽轉(zhuǎn)化為mx2+mx+1>0恒成立是求出第一問的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)
(1)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(2)若f(x)在[3,+∞)上恒大于0,求a的取值范圍.

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已知函數(shù)
(1)若f(x)在x=2時(shí)取得極值,求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求證:當(dāng)x>1時(shí),

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(13分)已知函數(shù)

(1)若f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱,求a的值;

(2)在(1)下,解關(guān)于x的不等式

 

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