Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P為A₁C₁的中點，AB=BC=kPA．
（I）求三棱錐P-AB₁C與三棱錐C₁-AB₁P的體積之比；
（II）當(dāng)k為何值時，直線PA⊥B₁C．

Answer 1

解：
（I）由B₁P⊥面A₁C，
得B₁P是三棱錐B₁-PAC的高，
又∵AA₁⊥面A₁B₁C₁，∴AA₁是三棱錐A-B₁PC₁的高．（2分）（4分）
，
所以三棱錐P-AB₁C與三棱錐C₁-AB₁P的體積之比是2．（6分）
（II）要使直線AP⊥B₁C，
只需AP⊥面B₁PC．
因為B₁P⊥面A₁C，
所以B₁P⊥AP．
所以只需PA⊥PC．（9分）∵，
又，∴k=1．（11分）
反知，當(dāng)k=1時，AP⊥面B₁PC，
所以AP⊥B₁C成立．（11分）
分析：（I）B₁P是三棱錐B₁-PAC的高，B₁P是三棱錐B₁-PAC的高，
利用以及
求三棱錐P-AB₁C與三棱錐C₁-AB₁P的體積之比；
（II）證明k=1，AP⊥面B₁PC，推出直線PA⊥B₁C．
點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力，是中檔題．