Question

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，O、M分別為CE、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：OD∥平面ABC；
（Ⅱ）求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；
（Ⅲ）能否在EM上找一點(diǎn)N，使得ON⊥平面ABDE？若能，請(qǐng)指出點(diǎn)N的位置，并加以證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）取AC中點(diǎn)F，連接OF、FB，可證四邊形BDOF是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明，即可解決問(wèn)題；
（II）以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB為x、y軸，以過(guò)點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，
設(shè)面ODM的法向量

n

=(x，y，z)，則直線CD和平面ODM所成角為θ，從而求解．
（III）取EM中點(diǎn)N，連接ON、CM，因?yàn)锳C=BC，M為AB中點(diǎn)，可得CM⊥AB，證明ON∥CM即可求解．

解答：解：（I）證明：取AC中點(diǎn)F，連接OF、FB（1分）
∵F是AC中點(diǎn)，O為CE中點(diǎn)，∴OF∥EA且OF=

1

2

EA，又BD∥AE且BD=

1

2

AE
∴F∥DB，OF=DB
∴四邊形BDOF是平行四邊形（2分）
∴OD∥FB（3分）
又∵FB?平面MEG，OD?平面MEG
∴OD面ABC．（4分）
（II）∵DB⊥面ABC，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE，
∴DB⊥面ABC，
∵BD∥AE，
∴EA⊥面ABC，（5分）
如圖，以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB為x、y軸，以過(guò)點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
∵AC=BC=4
∴各點(diǎn)坐標(biāo)為：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2）
E（4，0，4）
∴O(2，0，2)，M(2，2，0)，

CD

=(0，4，2)，

OD

=(-2，4，0)，

MD

=(-2，2，2)（6分）
設(shè)面ODM的法向量

n

=(x，y，z)，則由

n

⊥

MD

可得

-2x+4y=0 -2x+2y+2z=0

令x=2，
得：

n

=(2，1，1)（7分）
設(shè)直線CD和平面ODM所成角為θ．
則：sinθ=|

n • CD

| n || CD |

|=|

(2，1，1)•(0，4，2)

|(2，1，1)|•|(0，4，2)|

|=

6

6 •2 5

=

30

10

．
∴直線CD和平面ODM所成角正弦值為

30

10

．（8分）
（III）方法一：當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí)，ON⊥平面ABDE．（9分）
證明：取EM中點(diǎn)N，連接ON、CM，∵AC=BC，M為AB中點(diǎn)，∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM?面ABC，
∴CM⊥AB，
∵N是EM中點(diǎn)，O為CE中點(diǎn)，∴ON∥CM，
∴ON⊥平面ABDE．（13分）
方法二當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí)，ON⊥平面ABDE．（9分）
∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE
∴DB⊥面ABC，
∵BD∥AE，
∴EA⊥面ABC．
如圖，以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB為x、y軸，以過(guò)點(diǎn)C與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AC=BC=4，
∴各點(diǎn)坐標(biāo)為：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）D（0，4，2），E（4，0，4）
∴O（2，0，2），M（2，2，0），設(shè)N（a，b，c），
∴

MN

=(a-2，b-2，c)，

NE

=(4-a，-b，4-c)（10分）
∵點(diǎn)N在ME上，∴

MN

=λ

NE

，即（a-2，b-2，c）=λ（4-a，-b，4-c）
∴

a-2=λ(4-a) b-2=λ(-b) c=λ(4-c)

?

a= 4λ+2 λ+1 b= 2 λ+1 c= 4λ λ+1

∴N(

4λ+2

λ+1

，

2

λ+1

，

4λ

λ+1

)（11分）
∵

BD

=(0，0，2)是面ABC的一個(gè)法向量，
∴

ON

⊥

BD

，∴

4λ

λ+1

=2，解得λ=1．（12分）
∴

MN

=

NE

即N是線段EM的中點(diǎn)，
∴當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí)，ON⊥平面ABDE．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線面的位置關(guān)系，空間角的計(jì)算等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和探究能力，同時(shí)考查學(xué)生靈活利用圖形，借助向量工具解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．