Question

已知函數(shù)f（x）=x²•ln|x|（x≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的最值；   
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=kx-1無實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）顯然該函數(shù)是偶函數(shù)，所以只需研究當x＞0時的函數(shù)最值，對函數(shù)求導，判斷導數(shù)在定義域內(nèi)的符號確定單調(diào)性；
（2）利用函數(shù)的導數(shù)研究單調(diào)性、極值、最值情況研究圖象，再結(jié)合圖象確定k的范圍．

解答： 解：（ I ）∵f（x）為偶函數(shù)，∴我們先求其在（0，+∞）內(nèi)的最值．
求導得f′（x）=x（2lnx+1），令f′（x）=0⇒2lnx+1=0⇒x=e 

1

2

，
易知：x∈（0，e -

1

2

）時，f′（x）＜0⇒f（x）單調(diào)遞減；x∈（e -

1

2

，+∞）時，f′（x）＞0⇒f（x）單調(diào)遞增．
故f（x）在（0，+∞）上的最小值f（x）_min=f（e -

1

2

）=-

1

2e

．
再由f（x）為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱即知：f（x）_min=-

1

2e

為所求．
（ II ）由（ I ）知：f（x）的圖象大致如右圖所示：

由圖象（曲線為f（x）的圖象）知：當求出直線y=kx-1
與f（x）的圖象相切時，其斜率k的值后，便可求得該直線與f（x）的圖象無交點，即
方程f（x）=kx-1無實數(shù)解時，其斜率k的取值范圍．  我們先考慮x＞0的情況．
設切點為（x₀，y₀），x₀＞0⇒k_切=x₀（2ln x₀+1）⇒切線方程為：y=x₀（2ln x₀+1）x+y₀-x₀²（2ln x₀+1），
因該切線與y=kx-1重合，故x₀²（2ln x₀+1）=1⇒2x₀²ln x₀=1-x₀²．此即2 f（x₀）=1-x₀²． （※）
在同一坐標系內(nèi)，作出函數(shù)y=2f（x），x＞0，與y=1-x²的圖象，可知它們的交點為（1，0）．
故方程（※）的解為：x₀=1⇒k_切=1；⇒x＞0時，k≥1，直線y=kx-1與f（x）的圖象有交點（即原方程有解）．
再根據(jù)f（x）的圖象的對稱性易知：k≤-1時，直線y=kx-1與f（x）的圖象也有交點．
故-1＜k＜1時，直線y=kx-1與f（x）的圖象無交點，即方程f（x）=kx-1無實數(shù)解．
故所求的k的范圍是（-1，1）．

點評：本題充分考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、等性質(zhì)，確定函數(shù)的圖象，再進一步研究方程根的取值情況的常規(guī)思路．