Question

16．定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足：f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為遞增函數(shù)．
（1）求f（1）、f（-1）的值；
（2）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（3）解不等式：f（2）+f（x-1）≤0．

Answer 1

分析 （1）利用抽象函數(shù)，通過賦值法，即可求f（1）、f（-1）的值；
（2）令y=-1，利用已知條件，即可通過偶函數(shù)的定義證明f（x）是偶函數(shù)；
（3）利用已知條件畫出函數(shù)的圖象大致形式；利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式：f（2）+f（x-1）≤0即可．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0．…（2分）
令x=y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1），
解得f（-1）=0．…（4分）
（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），…（6分）
故f（-x）=f（x）．…（7分）
所以f（x）是偶函數(shù)．…（8分）
（3）根據(jù)題意可知，函數(shù)y=f（x）的圖象大致如右圖：

∵f（2）+f（x-1）=f（2x-2）≤0，…（9分）
∴-1≤2x-2＜0，或0＜2x-2≤1，…（10分）
解得$\frac{1}{2}≤x＜1，或1＜x≤\frac{3}{2}$．…（11分）
所以原不等式的解集為：$\left\{{x|\frac{1}{2}≤x＜1，或1＜x≤\frac{3}{2}}\right\}$．…（12分）

點評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖形的應(yīng)用，不等式的解法，考查計算能力．