Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2|x|-3．
（1）畫(huà)出y=f（x）的圖象，并指出y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）判斷y=f（x）的奇偶性，并求y=f（x）的值域；
（3）方程f（x）=k+1有兩解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)圖象的作法,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）需將函數(shù)解析式改寫(xiě)成分段函數(shù)后在畫(huà)圖；
（2）利用整體思想把|x|先看成整體，然后再去絕對(duì)值；
（3）方程有兩個(gè)解即函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=k+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題．

解答： 解（1）f（x）=x²-2|x|+1=

x2-2x+1，x≥0 x2+2x+1，x＜0

，圖象如圖（1）所示：

兩部分都是拋物線的一部分，對(duì)稱軸分別為x=-1、x=1，
f（x）的遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞）
（2）∵f（-x）=（-x）²-2|-x|-3=x²-2|x|-3=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，
函數(shù)值域?yàn)閇-4，+∞）
（3）由圖象（2）分析可知當(dāng)方程f（x）=k+1有兩解時(shí)，k+1=-4或k+1＞-3，
∴k=-5或k＞-4

點(diǎn)評(píng)：本題只要考查分段函數(shù)以及分段函數(shù)的畫(huà)法，同時(shí)考查利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．