Question

20．某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增．下表是今年前四個月的統(tǒng)計情況：

月份	1月份	2月份	3月份	4月份
收購價格（元/斤）	6	7	6	5
養(yǎng)殖成本（元/斤）	3	4	4.6	5

現(xiàn)打算從以下兩個函數(shù)模型：
①y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π），
②y=log₂（x+a）+b
中選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購價格（元/斤）與相應月份之間的函數(shù)關系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應月份之間的函數(shù)關系．
（1）請你選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個函數(shù)解析式；
（2）按照你選定的函數(shù)模型，幫助該部門分析一下，今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在8月和9月有沒有可能虧損？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，求出參數(shù)的值，可得兩個函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)模型，求出價格的估算值，與成本比較后可得答案．

解答 解：（1）①選擇函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）
擬合收購價格（元/斤）與相應月份之間的函數(shù)關系，
由題：A=1，B=6，T=4，
∴ω=$\frac{π}{2}$
∴y=sin（$\frac{π}{2}$x+φ）+6，
由函數(shù)y=sin（$\frac{π}{2}$x+φ）+6的圖象過點（2，7），
∴π+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{2}$，
∴y=sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$）+6，
②選擇函數(shù)模型y=log₂（x+a）+b擬合養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應月份之間的函數(shù)關系，
由題：y=log₂（x+a）+b圖象過點（1，3），（2，4），
$\left\{\begin{array}{l}3={log}_{2}（1+a）+b\\ 4={log}_{2}（2+a）+b\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=3\end{array}\right.$
∴y=log₂x+3；
（2）由（1）：
當x=8時，y=sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$）+6=sin（$\frac{7π}{2}$）+6=5，
y=log₂x+3=log₂8+3=3+3=6＞5
當x=9時，y=sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$）+6=sin（4π）+6=6
y=log₂x+3=log₂9+3＞log₂8+3=3+3=6
這說明第8、9月收購價格低于養(yǎng)殖成本，生豬養(yǎng)殖戶出現(xiàn)虧損．
答：今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在8、9月里有可能虧損．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與使用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，難度中檔．